Relja Bašić rođen je u Zagrebu 1930. Njegova majka Elly Bašić bila je poznata hrvatska glazbena pedagoginja i pijanistica. Diplomirao je glumu na Akademiji dramskih umjetnosti u klasi dr. Gavelle. Pri kraju studija, 1955., redatelj Bojan Stupica uključuje ga u dramski ansambl HNK u Zagrebu, gdje, ostvarivši niz uloga s istaknutim redateljima (Stupica, Radojević, Gavella, Paro, Habunek, Violić, Juvančić, Spaić) i odigravši 498 predstava, ostaje u stalnom angažmanu do 1967. godine. 

Na filmu Relja Bašić debitira već za vrijeme studija u antologijskom Koncertu Branka Belana (1954.). 

Kod publike, pogotovo među Zagrepčanima, možda će najviše ostati zapamćen po ulozi 'gospona Fulira' u jednom od najboljih hrvatskih filmova Tko pjeva, zlo ne misli Kreše Golika iz 1970.

Njegova filmska karijera obuhvaća 56 domaćih filmova. Govorio je nekoliko svjetskih jezika te je glumio i u 70-ak koprodukcija i inozemnih filmova, uključujući suradnje s velikim imenima europskoga i svjetskog filma, kao što su Volker Schlöndorff, Peter Ustinov, Abel Gance, Robert Hossein, Lamont Johnson, James Cellan Jones, Alexandre Astruce, Mauro Bolognini, Wojtech Jasny, Luigi Magni, Wolfgang Becker i Giuliano Montaldo. Njegov dar najviše su znali iskoristiti Zvonimir Berković i Krešo Golik, u čijim je filmovima Relja ostvario ponajbolje uloge, na koje je i sam bio najponosniji. Godine 1966. snimio je urbanu dramu Rondo, u kojemu je s Milenom Dravić i Stevom Žigonom odigrao ulogu urbanog zagrebačkog intelektualca Feđe, najbolju filmsku rolu u karijeri, a film je u svim antologijama uvršten u pet najvećih hrvatskih filmskih naslova svih vremena. Posljednju značajnu filmsku ulogu dao mu je 2003. Petar Krelja, u socijalnoj drami Ispod crte, u kojoj mu je partnerica, kao supruga, bila još jedna pokojna diva hrvatskog glumišta Nada Subotić. 

Bašić je 1968. postao samostalni umjetnik te kao glumac i redatelj djeluje u Teatru ITD, kazalištu Komedija, Zagrebačkom kazalištu mladih i na Dubrovačkim ljetnim igrama. U tim kazalištima odigrao je 797 predstava i realizirao svojih prvih šest režija (Ljubaf, Crna komedija, Jedan dan u smrti Joe Egg, Stara vremena, Obećanja i Hotel Plaza). Počeo je prvi na ovim prostorima režirati moderne komade, američke scenske hitove, poput Ljubafi Schisgala i Hotela Plaze Neila Simona. Od Bojana Stupice posudio je ideju o osnivanju glumačke trupe koja bi sama odabirala repertoar i igrala svaku večer na malim i velikim scenama u svim republikama bivše Jugoslavije. Tako je 1974. kao umjetnički ravnatelj, redatelj i glumac osnovao Teatar u gostima, okupivši tadašnje velikane hrvatskog i srpskog glumišta: Fabijana Šovagovića, Ivu Serdara, Vanju Dracha, Irenu Kolesar, Franju Majetića, Anu Karić, Zdravku Krstulović, Jelisavetu Sablić, Nedu Spasojević. U njemu ostaje sve do njegova zatvaranja 2004. Teatar u gostima je tijekom tridesetogodišnjeg djelovanja izveo 4.213 predstava u 340 mjesta i gradova u Hrvatskoj, bivšoj Jugoslaviji te u inozemstvu.

Posljednji puta bio je viđen u javnosti kad ga je bivši predsjednik Ivo Josipović u rezidenciji na Pantovčaku odlikovao Redom kneza Branimira za doprinos u kulturi, dok je još 1995. odlikovan Redom Danice Hrvatske s likom Marka Marulića za doprinos u kulturi Republike Hrvatske. Dobio je i nagradu 'Vladimir Nazor' za životno djelo u kazalištu (1995.),  Nagradu 'Dubravko Dujšin' za kazališnu umjetnost, za kazališno godište 1976./ 77. za ideju, organiziranje i uspješno vođenje Teatra u gostima (1978.), Plaketu grada Zagreba dodijeljenu Teatru u gostima za 30. obljetnicu (2004.), Plaketu Društva dramskih umjetnika Hrvatske za izniman doprinos Društvu (2003.) te Zlatnu plaketu za 40. godina aktivnosti Hrvatske zajednice samostalnih umjetnika (2000.).